当前位置: 首页 > >

2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题附答案解析

发布时间:

2020-2021 中考数学专题复习二次函数的综合题附答案解析 一、二次函数 1.如图:在平面直角坐标系中,直线 l:y= 1 x﹣ 4 与 x 轴交于点 A,经过点 A 的抛物线 33 y=ax2﹣3x+c 的对称轴是 x= 3 . 2 (1)求抛物线的解析式; (2)平移直线 l 经过原点 O,得到直线 m,点 P 是直线 m 上任意一点,PB⊥x 轴于点 B, PC⊥y 轴于点 C,若点 E 在线段 OB 上,点 F 在线段 OC 的延长线上,连接 PE,PF,且 PE=3PF.求证:PE⊥PF; (3)若(2)中的点 P 坐标为(6,2),点 E 是 x 轴上的点,点 F 是 y 轴上的点,当 PE⊥PF 时,抛物线上是否存在点 Q,使四边形 PEQF 是矩形?如果存在,请求出点 Q 的坐 标,如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)抛物线的解析式为 y=x2﹣3x﹣4;(2)证明见解析;(3)点 Q 的坐标为 (﹣2,6)或(2,﹣6). 【解析】 【分析】 (1)先求得点 A 的坐标,然后依据抛物线过点 A,对称轴是 x= 3 列出关于 a、c 的方程组 2 求解即可; (2)设 P(3a,a),则 PC=3a,PB=a,然后再证明∠ FPC=∠ EPB,最后通过等量代换进行 证明即可; (3)设 E(a,0),然后用含 a 的式子表示 BE 的长,从而可得到 CF 的长,于是可得到点 F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到 Qx ? Px ? Fx ? Ex , Qy ? Py ? Fy ? Ey ,从而 2 2 2 2 可求得点 Q 的坐标(用含 a 的式子表示),最后,将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式求得 a 的值即可. 【详解】 (1)当 y=0 时, 1 x ? 4 ? 0 ,解得 x=4,即 A(4,0),抛物线过点 A,对称轴是 x= 3 , 33 2 ?16a ?12 ? c ? 0 得 ? ? ?? ? ?3 ? 3 2a 2 , ? a ?1 解得 ??c ? ?4 ,抛物线的解析式为 y=x2﹣3x﹣4; (2)∵ 平移直线 l 经过原点 O,得到直线 m, ∴ 直线 m 的解析式为 y= 1 x. 3 ∵ 点 P 是直线 1 上任意一点, ∴ 设 P(3a,a),则 PC=3a,PB=a. 又∵ PE=3PF, ∴ PC ? PB . PF PE ∴ ∠ FPC=∠ EPB. ∵ ∠ CPE+∠ EPB=90°, ∴ ∠ FPC+∠ CPE=90°, ∴ FP⊥PE. (3)如图所示,点 E 在点 B 的左侧时,设 E(a,0),则 BE=6﹣a. ∵ CF=3BE=18﹣3a, ∴ OF=20﹣3a. ∴ F(0,20﹣3a). ∵ PEQF 为矩形, ∴ Qx ? Px ? Fx ? Ex , Qy ? Py ? Fy ? Ey , 2 2 2 2 ∴ Qx+6=0+a,Qy+2=20﹣3a+0, ∴ Qx=a﹣6,Qy=18﹣3a. 将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4 或 a=8(舍去). ∴ Q(﹣2,6). 如下图所示:当点 E 在点 B 的右侧时,设 E(a,0),则 BE=a﹣6. ∵ CF=3BE=3a﹣18, ∴ OF=3a﹣20. ∴ F(0,20﹣3a). ∵ PEQF 为矩形, ∴ Qx ? Px ? Fx ? Ex , Qy ? Py ? Fy ? Ey , 2 2 2 2 ∴ Qx+6=0+a,Qy+2=20﹣3a+0, ∴ Qx=a﹣6,Qy=18﹣3a. 将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=8 或 a=4(舍去). ∴ Q(2,﹣6). 综上所述,点 Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6). 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求 二次函数的解析式、中点坐标公式,用含 a 的式子表示点 Q 的坐标是解题的关键. 2.已知,点 M 为二次函数 y ? ?(x ? b)2 ? 4b ?1 图象的顶点,直线 y ? mx ? 5 分别交 x 轴正半轴, y 轴于点 A, B . (1)如图 1,若二次函数图象也经过点 A, B ,试求出该二次函数解析式,并求出 m 的值. (2)如图 2,点 A 坐标为 (5, 0) ,点 M 在 ?AOB 内,若点 C(1 4 , y1 ) , D( 3 4 , y2 ) 都在二次 函数图象上,试比较 y1 与 y2 的大小. 【答案】(1) y ? ?(x ? 2)2 ? 9,m ? ?1;(2)①当 0 ? b ? 1 2 时, y1 ? y2 ;②当 b ? 1 2 时, y1 ? y2 ;③当 1 2 ? b ? 4 5 时, y1 ? y2 【解析】 【分析】 (1)根据一次函数表达式求出 B 点坐标,然后根据 B 点在抛物线上,求出 b 值,从而得 到二次函数表达式,再根据二次函数表达式求出 A 点的坐标,最后代入一次函数求出 m 值. (2)根据解方程组,可得顶点 M 的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案. 【详解】 (1)如图 1,∵ 直线 y ? mx ? 5 与 y 轴交于点为 B ,∴ 点 B 坐标为 (0, 5) 又∵ B(0,5) 在抛物线上,∴ 5 ? ?(0 ? b)2 ? 4b ?1 ,解得 b ? 2 ∴ 二次函数的表达式为 y ? ?(x ? 2)2 ? 9 ∴ 当 y ? 0 时,得 x1 ? 5 , x2 ? ?1 ∴ A(5, 0) 代入 y ? mx ? 5


相关推荐


友情链接: